Prävalenz, Sensitivität und Spezifizität

Für die Infektionsdaten des RKI werden Personen, $U$, zur Untersuchung gemäß Testprotokoll erhoben, und ein PCRE Test, $X$, durchgeführt, um eine Infektion mit SARS-COV-2, $X'$, festzustellen. Ein Test ist nicht dasselbe wie die Infektion, aber er zeigt die Infektion an. In mathematischer Notation des Zufallsexperiments:

$$\begin{align} U & : \Omega \rightarrow \mathbb{U}\\ X & : \Omega \rightarrow \{0, 1\} \\ X' & : \Omega \rightarrow \{0, 1\} \end{align}$$

Die Prävalenz einer Infektion ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person zum Testzeitpunkt infiziert ist, $P(X'=1)$.

Die entscheidenden Gütekriterien eines Tests sind dabei zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten:

• Die Sensitivität ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses $X=1$, gegeben eine Infektion $X'=1$: $P(X=1 \vert X'=1)$.
• Die Spezifizität ist die Wahrscheinlichkeit eines negativen Testergebnisses $X=0$, gegeben keine Infektion $X'=0$: $P(X=0 \vert X'=0)$.

Wenn die Prävalenz $P(X'=1)$ bekannt wäre, dann wäre die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses $X=1$ in einer Zufallsstichprobe (Marginalisierung über bedingte Wahrscheinlichkeiten):

$$\begin{align} P(X=1) & = P(X=1 \vert X'=1) \cdot P(X'=1) + P(X=1 \vert X'=0) \cdot P(X'=0) \end{align}$$

Nach Ausmultiplizieren und Ausklammern $\begin{align} P(X=1) & = \underbrace{P(X=1 \vert X'=1)}_{sensitivity} \cdot P(X'=1) + \underbrace{P(X=1 \vert X'=0)}_{1-specificity} \cdot \underbrace{P(X'=0)}_{1-P(X'=1)} \\ & = sensitivity \cdot P(X'=1) + \left(1-specificity\right) \cdot \left(1-P(X'=1) \right) \\ & = sensitivity \cdot P(X'=1) + 1-P(X'=1) - specificity + specificity \cdot P(X'=1)\\ & = P(X'=1)\left( sensitivity - 1 + specificity \right) + 1 - specificity\\ \end{align}$

Die Prävalenz $P(X'=1)$ ist unbekannt und soll ermittelt werden. Die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses $P(X=1)$ kann mit den Informationen des Robert-Koch-Instituts abgeschätzt werden: $\hat{P}(X'=1)=\frac{\text{Anzahl positive Testungen}}{\text{Anzahl Testungen}}$

Die Prävalenz kann berechnet werden aus Sensitivität, Spezifizität und der Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests in einer Zufallsstichprobe, indem die letzte Formel umgeformt wird:

$$\begin{align} P(X=1) - 1 + specificity & = P(X'=1)\left( sensitivity - 1 + specificity \right)\\ P(X'=1) & = \frac{P(X=1) - 1 + specificity}{ sensitivity - 1 + specificity } \end{align}$$

Eine Bayes-Schätzung der Prävalenz unter der (falschen) Annahme einer Zufallsstichprobe für die PCRE Test-Zahlen des RKI finden Sie unter diesem Link.